ม.2 คณิตศาสตร์ (DLTV -2568)

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือเป็นทฤษฎีบทที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่บนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

จำนวนเต็ม ทศนิยม เศษส่วน หรือจำนวนคละ เป็นตัวอย่างของจำนวนตรรกยะ ซึ่งจำนวนเต็ม ทศนิยม และจำนวนคละ สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนได้

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

ความสัมพันธ์ระหว่างทศนิยมซ้ำและเศษส่วนทำให้สามารถเขียนเศษส่วนให้เป็นทศนิยมซ้ำและเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ดังนั้นจำนวนที่เขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำจึงเป็นจำนวนตรรกยะ

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

ปัญหาหรือสถานการณ์บางอย่างไม่สามารถใช้จำนวนเต็ม เศษส่วน หรือทศนิยมซ้ำแทนปริมาณที่ต้องการสื่อได้ จึงต้องใช้จำนวนอตรรกยะในการสื่อความหมายแทน

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

รากที่สองของจำนวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย์ คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วได้จำนวนจริงนั้นซึ่งการหารากที่สองทำได้โดยอาศัยบทนิยามของรากที่สอง ทั้งนี้รากที่สองของจำนวนตรรกยะบวกจะเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะอย่างใดอย่างหนึ่ง และรากที่สองของจำนวนจริงบวกใด ๆ จะมีสองรากได้แก่ รากที่สองที่เป็นบวกและรากที่สองที่เป็นลบ

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

รากที่สองของจำนวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย์ คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วได้จำนวนจริงนั้นซึ่งการหารากที่สอง นอกจากทำได้โดยอาศัยบทนิยามของรากที่สอง แล้วยังสามารถอาศัยการแยกตัวประกอบ

ได้อีกด้วย

รากที่สองของจำนวนจริงบวกใด ๆ มีสองราก ได้แก่ รากที่สองที่เป็นบวก และรากที่สองที่เป็นลบ ซึ่งสามารถเขียนรากที่สองของจำนวนจริงบวกใด ๆ ให้อยู่ในรูปกรณฑ์ได้ สำหรับกรณฑ์ที่สองของจำนวนจริงบวกใด ๆ จะใช้แทนรากที่สองที่เป็นบวกของจำนวนจริงนั้น

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

สมบัติของการเปรียบเทียบจำนวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง และสมบัติของการคูณของจำนวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สองเป็นสมบัติของกรณฑ์ที่สองที่สามารถใช้ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับการหา
กรณฑ์ที่สองได้

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

สมบัติของการหารของจำนวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง เป็นสมบัติของกรณฑ์ที่สองที่สามารถใช้ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับการหากรณฑ์ที่สองได้

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

รากที่สามของจำนวนจริงบวกใด ๆ คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสามแล้วได้จำนวนจริงนั้น การหารากที่สาม นอกจากทำได้โดยอาศัยบทนิยามแล้ว ยังสามารถอาศัยการแยกตัวประกอบได้อีกด้วย ซึ่งรากที่สาม  จะมีเพียงหนึ่งรากเท่านั้น ความรู้เกี่ยวกับรากที่สามของจำนวนจริงสามารถนำไปใช้ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และยังสามารถนำมาช่วยในการแก้ปัญหาที่สอดคล้องกับชีวิตจริง

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

สถานการณ์ปัญหาในชีวิตจริงบางสถานการณ์ อาจสามารถใช้ความรู้เกี่ยวกับจำนวนจริงมาใช้ในการแก้ปัญหาได้

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกันและด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า ปริซึม ซึ่งการเรียกชื่อของปริซึม พิจารณาจากหน้าตัดหรือฐานของปริซึมนั้น รูปคลี่ของปริซึมเป็นรูปเรขาคณิตสองมิติที่แสดงหน้าแต่ละหน้าของปริซึมที่คลี่ออกมาจากบริเวณที่เป็นสันหรือขอบ

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การหาพื้นที่ผิวของปริซึม สามารถพิจารณาได้จากพื้นที่ทั้งหมดของรูปคลี่ของปริซึมนั้น

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การหาปริมาตรของปริซึมซึ่งเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานกับความสูงความแตกต่างของการพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม คือปริมาตรของปริซึมจะนำพื้นที่ฐานไปคูณกับความสูง แต่พื้นที่ผิวของปริซึมจะคำนวณจากผลรวมของพื้นที่ของฐานทั้งสองกับพื้นที่ของด้านข้างของปริซึม

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

ในชีวิตจริงเราสามารถนำความรู้เกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึมมาประยุกต์ใช้กับการออกแบบบรรจุภัณฑ์ได้ เพื่อสร้างความเป็นเอกลักษณ์และดึงดูดลูกค้าให้สนใจบรรจุภัณฑ์ รวมถึงสามารถประหยัดวัสดุและค่าใช้จ่ายได้

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

ในชีวิตจริงเราสามารถนำความรู้เกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึมมาประยุกต์ใช้กับการออกแบบบรรจุภัณฑ์ได้ เพื่อสร้างความเป็นเอกลักษณ์และดึงดูดลูกค้าให้สนใจบรรจุภัณฑ์ รวมถึงสามารถประหยัดวัสดุและค่าใช้จ่ายได้

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้วจะได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นว่า ทรงกระบอก

การหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอกสามารถพิจารณาได้จากพื้นที่ทั้งหมดของรูปคลี่ของทรงกระบอกนั้น

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

ปริมาตรของทรงกระบอกหาได้จากพื้นที่ฐานคูณกับความสูงของทรงกระบอก เช่นเดียวกันกับปริมาตรของปริซึม

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การนำความรู้เรื่องการหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอกและการหาปริมาตรของทรงกระบอกไปใช้ในการแก้สถานการณ์ปัญหาในชีวิตจริง

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

ในชีวิตจริงเราสามารถนำความรู้เกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอกมาประยุกต์ใช้กับการออกแบบบรรจุภัณฑ์ได้ เพื่อสร้างความเป็นเอกลักษณ์และดึงดูดลูกค้าให้สนใจบรรจุภัณฑ์ รวมถึงสามารถประหยัดวัสดุและค่าใช้จ่ายได้

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การแปลงทางเรขาคณิตที่รูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการแปลงมีรูปร่างเหมือนกันและขนาดเท่ากันเสมอ ได้แก่ การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน การเลื่อนขนานบนระนาบ เป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเลื่อนจุดทุกจุดบนระนาบตามแนวเส้นตรงในทิศทางเดียวกันและเป็นระยะทางเท่ากันตามที่กำหนด

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การเลื่อนขนานรูปต้นแบบ เมื่อกำหนดเวกเตอร์ของการเลื่อนขนานมาให้ จะต้องวิเคราะห์ว่า เวกเตอร์ที่กำหนดให้นั้นบอกทิศทางและระยะทางของการเลื่อนเป็นอย่างไร

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การเลื่อนขนานรูปต้นแบบ เมื่อกำหนดเวกเตอร์ของการเลื่อนขนานมาให้ จะต้องวิเคราะห์ว่า เวกเตอร์ที่กำหนดให้นั้นบอกทิศทางและระยะทางของการเลื่อนเป็นอย่างไร การหาพื้นที่โดยประมาณ อาจอาศัยการเลื่อนขนานมาช่วยในการหาคำตอบได้ โดยจะต้องสังเกตลักษณะของรูปต้นแบบและบริเวณที่จะเลื่อนไปทับว่าสามารถทับกันสนิทหรือไม่ โดยต้องไม่เปลี่ยนทิศทาง จึงสามารถหาพื้นที่ได้ถูกต้องหรือใกล้เคียงกับพื้นที่จริงมากที่สุด

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

พิกัดของจุดบนภาพที่ได้จากการสะท้อนจะอยู่ห่างจากเส้นสะท้อนเป็นระยะเท่ากับที่จุดบนรูปต้นแบบที่สมนัยกันห่างจากเส้นสะท้อน การหาพื้นที่โดยประมาณ อาจอาศัยการสะท้อนมาช่วยในการหาคำตอบได้ โดยจะต้องหาเส้นสะท้อนและสังเกตลักษณะของรูปต้นแบบและบริเวณที่พลิกไปทับว่าสามารถทับกันสนิทหรือไม่ ซึ่งจะได้ว่ารูปทั้งสองมีพื้นที่เท่ากัน ก็สามารถหาพื้นที่ได้ถูกต้องหรือใกล้เคียงกับพื้นที่จริงมากที่สุด

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การหมุนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีจุด O ที่ตรึงจุดหนึ่งเป็นจุดหมุนหรือจุดศูนย์กลางของการหมุน แต่ละจุด P บนระนาบ มีจุด P' เป็นจุดที่สมนัยกับจุด P และเป็นภาพที่ได้จากการหมุนจุด P รอบจุด O ตามทิศทางที่กำหนดด้วยมุมที่มีขนาด k องศา โดยที่ OP = OP'

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การประยุกต์ใช้การแปลงทางเรขาคณิตในการแก้ปัญหาในชีวิตจริง ซึ่งได้แก่ การออกแบบลวดลายผ้าไทย

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

เลขยกกำลัง เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวนที่ประกอบด้วยฐานและเลขชี้กำลัง เราสามารถเขียนจำนวนที่อยู่ในรูปการคูณของจำนวนที่ซ้ำ ๆ กันให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังได้ และเนื่องจากเลขยกกำลังเป็นจำนวนจึงสามารถหาผลคูณและผลหารของเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเดียวกัน โดยอาศัยสมบัติของการคูณและการหารเลขยกกำลัง

การหาผลคูณของเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเดียวกัน เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม มีสมบัติเช่นเดียวกับกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก โดยผลคูณจะเป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนนั้น และเลขชี้กำลังของผลคูณจะเท่ากับผลบวกของเลขชี้กำลังของตัวตั้งกับเลขชี้กำลังของตัวคูณ

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การหาผลหารของเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเดียวกันที่ไม่เท่ากับศูนย์ เมื่อเลขชี้กำลังเป็น จำนวนเต็ม มีสมบัติเช่นเดียวกับกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก โดยผลหารที่ได้จะเป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนนั้น และเลขชี้กำลังของผลหารจะเท่ากับเลขชี้กำลังของตัวตั้งลบด้วยเลขชี้กำลังของตัวหาร

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

พหุนามเป็นนิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนาม หรือเขียนอยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป ซึ่งการเขียนพหุนามในรูปผลสำเร็จต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับการบวกและการลบเอกนาม

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

หลักเกณฑ์การบวกและการลบพหุนามอาศัยความรู้เรื่องเอกนามที่คล้ายกัน และการบวกและการลบเอกนามที่คล้ายกันซึ่งผลลัพธ์ที่ได้อาจเป็นเอกนามหรือพหุนามก็ได้

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การคูณเอกนามกับเอกนาม อาศัยความรู้เรื่องการคูณจำนวนเต็มและสมบัติของเลขยกกำลังในการหาผลคูณ ซึ่งสามารถใช้หลักเกณฑ์ของการคูณเอกนามกับเอกนามนี้ และสมบัติการแจกแจงในการหาผลคูณระหว่างเอกนามและพหุนามได้

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การคูณพหุนามกับพหุนาม อาศัยหลักเกณฑ์ในการคูณเอกนามกับพหุนาม และสมบัติการแจกแจง       ในการหาผลคูณ ซึ่งการคูณพหุนามกับพหุนามเป็นพื้นฐานของการแยกตัวประกอบของพหุนาม

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การหารเอกนามด้วยเอกนาม อาศัยความรู้เรื่องการหารจำนวนเต็มและสมบัติของเลขยกกำลังในการหาผลหาร ซึ่งสามารถใช้หลักเกณฑ์ของการหารเอกนามด้วยเอกนามและสมบัติของเลขยกกำลังในการหารพหุนามด้วยเอกนามได้

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

สถานการณ์ปัญหาในชีวิตจริงบางสถานการณ์อาจต้องอาศัยการสร้างสูตร เพื่อความรวดเร็วในการแทนค่าตัวแปรในพหุนามในการหาคำตอบ ซึ่งความรู้เกี่ยวกับพหุนามจะช่วยในการคำนวณเพื่อหาสูตรดังกล่าวนั้นได้

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

แผนภาพจุด (Dot plot) เป็นรูปแบบหนึ่งของการนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ โดยจะเขียนจุดแทนข้อมูลแต่ละตัวไว้เหนือเส้นในแนวนอนที่มีสเกล ให้ตรงกับตำแหน่งที่แสดงค่าของข้อมูลนั้น แผนภาพจุดช่วยให้เห็นภาพรวมของข้อมูลได้อย่างรวดเร็วกว่าการพิจารณาจากข้อมูล โดยตรงโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อสนใจจะพิจารณาลักษณะของข้อมูลว่ามีการกระจายมากน้อยเพียงใด

การนำเสนอข้อมูลด้วยแผนภาพจุด ทำได้โดย

1. เขียนเส้นในแนวนอน กำหนดสเกลเป็นช่วง ช่วงละเท่า ๆ กันพร้อมทั้งกำหนดชื่อของเส้นในแนวนอน

2. เขียนจุดแทนข้อมูลเหนือเส้นในแนวนอนให้ตรงกับค่าของข้อมูลนั้น

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

ฮิสโทแกรม มีลักษณะคล้ายแผนภูมิแท่ง แต่ใช้แท่งสี่เหลี่ยมมุมฉากแสดงความถี่หรือความถี่สัมพัทธ์ของข้อมูลเชิงปริมาณในแต่ละช่วงในขณะที่แผนภูมิแท่งใช้สำหรับข้อมูลเชิงคุณภาพและใช้แท่งสี่เหลี่ยมมุมฉากแสดงปริมาณของข้อมูลซึ่งมีเพียงค่าเดียว

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

มัธยฐาน มัธยฐานของข้อมูลชุดหนึ่ง คือ ค่าที่อยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด เมื่อเรียงลำดับข้อมูลจากมากไปน้อยหรือจากน้อยไปมาก โดยสามารถพิจารณาได้สองกรณี คือ

1) ถ้าข้อมูลมีจำนวนเป็นจำนวนคี่ เมื่อเรียงลำดับข้อมูลจากมากไปน้อย หรือน้อยไปมาก มัธยฐาน คือ ค่าของข้อมูลที่อยู่กึ่งกลาง

2) ถ้าข้อมูลมีจำนวนเป็นจำนวนคู่ เมื่อเรียงลำดับข้อมูลจากมากไปน้อย หรือน้อยไปมาก มัธยฐาน คือ ค่าเฉลี่ยของผลบวกของข้อมูลที่อยู่ตรงกลางสองค่าโดยทั่วไปค่ามัธยฐานนิยมใช้เป็นค่ากลางที่เหมาะสมกับข้อมูลที่มีค่าแตกต่างกันของข้อมูลต่างกันมาก

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดในข้อมูลชุดหนึ่ง ๆ

ฐานนิยมของข้อมูลชุดหนึ่ง ขึ้นอยู่กับความถี่ของข้อมูลที่ปรากฎในข้อมูลชุดนั้น ดังนี้

• ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดเพียงข้อมูลเดียว ฐานนิยมคือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดนั้น
• ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีข้อมูลแต่ละตัวมีความถี่เท่ากันหมด จะถือว่าข้อมูลชุดนั้น ไม่มีฐานนิยม
• ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดเท่ากันมากกว่าหนึ่งข้อมูล ในที่นี้จะไม่พิจารณาหาฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ จำนวนที่ได้จากการหารผลบวกของข้อมูลทั้งหมดด้วยจำนวนข้อมูล

มัธยฐานของข้อมูลชุดหนึ่ง คือ ค่าที่อยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด เมื่อเรียงลำดับข้อมูลจากมากไปน้อยหรือจากน้อยไปมาก โดยสามารถพิจารณาได้สองกรณี คือ

1) ถ้าข้อมูลมีจำนวนเป็นจำนวนคี่ เมื่อเรียงลำดับข้อมูลจากมากไปน้อย หรือน้อยไปมาก มัธยฐาน คือ ค่าของข้อมูลที่อยู่กึ่งกลาง

2) ถ้าข้อมูลมีจำนวนเป็นจำนวนคู่ เมื่อเรียงลำดับข้อมูลจากมากไปน้อย หรือน้อยไปมาก มัธยฐาน คือ ค่าเฉลี่ยของผลบวกของข้อมูลที่อยู่ตรงกลางสองค่าโดยทั่วไปค่ามัธยฐานนิยมใช้เป็นค่ากลางที่เหมาะสมกับข้อมูลที่มีค่าแตกต่างกันของข้อมูลต่างกันมาก

ฐานนิยม

ฐานนิยมของข้อมูลชุดหนึ่ง คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดในข้อมูลชุดนั้นและฐานนิยมของข้อมูลชุดหนึ่ง ขึ้นอยู่กับความถี่ของข้อมูลที่ปรากฎในข้อมูลชุดนั้น

-ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดเพียงข้อมูลเดียว ฐานนิยมคือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดนั้น

-ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีข้อมูลแต่ละตัวมีความถี่เท่ากันหมด จะถือว่าข้อมูลชุดนั้น ไม่มีฐานนิยม

-ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดเท่ากันมากกว่าหนึ่งข้อมูล ในที่นี้จะไม่พิจารณาหาฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

สถิติไปใช้ในสถานการณ์ชีวิตประจำวันเพื่อวิเคราะห์ และตอบคำถามที่สอดคล้องกับ มีความสมเหตุสมผลจะเป็นคำตอบของสถานการณ์ปัญหา

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

“ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด) กล่าวคือ   ถ้ามีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากันมีขนาดเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ”

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

“ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ มุม-ด้าน-มุม (ม.ด.ม.) กล่าวคือมีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และมีด้านซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองยาวเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ”

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

“ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์กันแบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด) กล่าวคือมี ความมีด้านยาวเท่ากันสามคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ”

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

“ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ มุม–มุม–ด้าน (ม.ม.ด.) กล่าวคือ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันหนึ่งคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ”

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

“ถ้ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ ฉาก–ด้าน–ด้าน เขียนแทนด้วย (ฉ.ด.ด.) กล่าวคือ มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และมีด้านอื่นอีกหนึ่งคู่ยาวเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ”

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

• ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.) กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากันมีขนาดเท่ากันแล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
• ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ มุม-ด้าน-มุม (ม.ด.ม.) กล่าวคือมีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และมีด้านซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองยาวเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
• ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์กันแบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด) กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันสามคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
• ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ มุม–มุม–ด้าน (ม.ม.ด.) กล่าวคือ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันหนึ่งคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
• ถ้ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีสัมพันธ์กันแบบ ฉาก-ด้าน–ด้าน (ฉ.ด.ด.) กล่าวคือ มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากันและมีด้านอื่นอีกหนึ่งคู่ยาวเท่ากันแล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

- รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน

- สมบัติของรูสามเหลี่ยมหน้าจั่วและสามารถนำไปใช้อ้างอิงได้ ดังนี้

1. เส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะแบ่งรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วออกเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการ
2. มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน
3. เส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะแบ่งครึ่งฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
4. เส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะตั้งฉากกับฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
5. เส้นที่ลากจากมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมาแบ่งครึ่งฐาน จากแบ่งครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
6. เส้นที่ลากจากมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมาแบ่งครึ่งฐาน จะตั้งฉากกับฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 
7. เส้นที่ลากจากมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมาตั้งฉากกับฐาน จะแบ่งครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
8. เส้นที่ลากจากมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมาตั้งฉากกับฐาน จะแบ่งครึ่งฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

• ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.) กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากันมีขนาดเท่ากันแล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
• ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ มุม-ด้าน-มุม (ม.ด.ม.) กล่าวคือมีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และมีด้านซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองยาวเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
• ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์กันแบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด) กล่าวคือมี ความมีด้านยาวเท่ากันสามคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
• ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ มุม–มุม–ด้าน (ม.ม.ด.) กล่าวคือ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันหนึ่งคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
• ถ้ารูปสามเหลี่ยมที่สัมพันธ์กันแบบ ฉาก-ด้าน–ด้าน (เขียนแทนด้วย ฉ.ด.ด.) กล่าวคือ สามเหลี่ยมทั้งสองเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีด้านประกอบมุมฉากยาวเท่ากัน และด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากันหนึ่งคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

- เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน

- ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะเท่ากันเสมอ

- ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอแล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน

- เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

- เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน

- ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะเท่ากันเสมอ

- ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอแล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน

- ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันละมีเส้นตัดแล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

- เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากันข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

- ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน

- ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากันแล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน

- เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

 - เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน

 - ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะเท่ากันเสมอ

 - ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอแล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน

 - เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา

 - เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

 - เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

- ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา

- ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป แล้วมุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

- ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา

- ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป แล้วมุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

- การนำความรู้เกี่ยวกับบทนิยาม สมบัติ และทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนานในการแก้ปัญหา

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

- ข้อสรุปที่ได้จากการสังเกตหรือการทดลองหลาย ๆ ครั้ง ซึ่งเชื่อว่ามีความเป็นไปได้มากที่สุด แต่ยังไม่ได้พิสูจน์ว่าเป็นจริง เรียกข้อสรุปนั้นว่า ข้อความคาดการณ์

- ประโยคมีเงื่อนไข ประกอบด้วยข้อความสองข้อความที่เชื่อมด้วย “ถ้า...แล้ว...” เรียกข้อความที่ตามหลัง “ถ้า” ว่า “เหตุ” และเรียกข้อความที่ตามหลัง “แล้ว” ว่า “ผล”

- เมื่อประโยคมีเงื่อนไขเป็นจริงและมีบทกลับเป็นจริง อาจเขียนเป็นประโยคเดียวกัน โดยใช้คำว่า “ก็ต่อเมื่อ” เชื่อมข้อความทั้งสองในประโยคมีเงื่อนไขนั้นได้ และประโยคที่ได้ก็จะเป็นจริงด้วย

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

      การพิสูจน์ว่าข้อความเป็นจริงนั้น จะต้องให้เหตุผลเพื่อแสดงว่า เมื่อเหตุเป็นจริงแล้ว เหตุนั้นทำให้เกิดผลที่เป็นจริงเสมอ โดยเริ่มจากสิ่งที่กำหนดให้แล้วอาศัยบทนิยาม สัจพจน์ ข้อความที่เคยพิสูจน์ว่าเป็นจริง และสมบัติต่าง ๆ อย่างใดอย่างหนึ่งหรือหลายอย่างประกอบกันมาให้เหตุผล เพื่อสรุปให้ได้ว่าผลที่ต้องการพิสูจน์เป็นจริง

     สำหรับการพิสูจน์ว่าข้อความไม่เป็นจริงนั้น เรามีวิธีง่าย ๆ คือยกตัวอย่างที่เป็นตามสิ่งที่กำหนดให้หรือเหตุ แต่ผลสรุปที่ได้ไม่เป็นจริง เรียกตัวอย่างเช่นนี้ว่า ตัวอย่างค้าน

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การสร้างเส้นขนานโดยอาศัยการสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต

สาระสำคัญ/ความคิดรวมยอด

การสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราสามารถใช้การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิตมาช่วยในการสร้าง เช่น การสร้างด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้มุมแย้งสามารถใช้ในเรื่องของการสร้างมุมให้มีขนาดเท่ากับมุมที่กำหนดให้และการสร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรงที่กำหนดให้ สำหรับการสร้างมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สามารถใช้ในเรื่องของการสร้างเส้นตั้งฉากและการแบ่งครึ่งมุมที่กำหนดให้มาช่วยในการสร้างมุมที่มีขนาดตามต้องการ